아래 애플릿을 사용하여 벡터의 크기와 방향에 대한 개념을 탐색할 수 있습니다. 벡터의 위치는 크기 나 방향에 영향을 주지 않으므로 벡터를 이동해도 벡터가 변경되지 않습니다. 그러나 머리 나 꼬리만 움직여 벡터를 늘리거나 돌리면 크기 나 방향이 변경됩니다. (이 애플릿은 다른 페이지에서 읽을 수 있는 벡터의 좌표도 보여줍니다.) 벡터 공간의 개념은 먼저 두 가지 특정 예를 설명하여 설명합니다: A와 인덱스 벡터 ia 및 ic의 고유 값 찾기, C = A(ia) 및 A = C(ic)와 같은. 경우 (x 1 , … , n) {displaystyle (x_{1}, ldots, x_{n})} 및 (y 1 , … n) {displaystyle (y_{1}, ldots, y_{n})}}}는 이전 및 새 기준에 대한 벡터 x의 좌표이며, 각각 기준의 변경 수식은 1개의 기준을 나타내는 벡터 x의 좌표입니다. 좌표 또는 구성요소라고 불리는 스칼라의 ence. 기초는 (유한 또는 무한) 세트 B = {bi}i 벡터 bi의 I, 편의를 위해 종종 일부 인덱스 세트 I에 의해 인덱싱, 즉 전체 공간에 걸쳐 선형 독립적이다. “전체 공간에 걸친”은 모든 벡터 v가 기초 요소의 유한 합(선형 조합이라고 함)으로 표현될 수 있음을 의미합니다: 벡터 공간의 두 번째 주요 예는 실제 숫자 x와 y의 쌍으로 제공됩니다(구성 요소 x및 y의 순서는 유의합니다) 따라서 이러한 쌍을 정렬 된 쌍이라고도합니다.) 이러한 쌍은 (x, y)로 기록됩니다.

이러한 두 쌍의 합과 숫자와의 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다: C의 벡터의 선형 조합으로 R2에서 벡터 v를 표현하는 여러 가지 방법이 있다는 사실은 C가 R의 기초가 될 수 없다는 또 다른 표시를 제공합니다. 2. C가 기초인 경우, 벡터 v는 C의 벡터들의 선형 조합으로서 일자일 뿐이다. 일부 벡터에 후행 공백이 있는 문자 벡터 A의 셀 배열을 만듭니다. 방향을 갖는 벡터에는 한 가지 중요한 예외가 있습니다. 굵은 글드페이스 $vc{0}$로 표시된 0 벡터는 길이가 0인 벡터입니다. 길이가 없기 때문에 특정 방향을 가리키지 않습니다. 길이가 0인 벡터는 하나뿐이므로 0 벡터에 대해 말할 수 있습니다.

추상 대수의 구문에서 처음 네 개의 공리기호는 벡터 집합을 추가 중인 abelian 그룹으로 요구하는 것과 같습니다. 나머지 공리엄은 이 그룹에 F 모듈 구조를 제공합니다. 즉, 필드 F로부터 벡터 그룹의 내분형 링내로 의링 상형화 f가 존재한다. 그런 다음 스칼라 곱셈 av는 (f(a))(v)로 정의됩니다. [3] 또는, 좌표 벡터 x와 매트릭스 A의 행렬 곱셈을 사용하여: 실제 또는 복잡한 숫자에 대한 무한 차원 벡터 공간의 맥락에서, 용어 Hamel basis (Georg Hamel의 이름을 따서 명명) 또는 대수 기초는 기초를 참조하는 데 사용할 수 있습니다 이 문서에 정의된 대로. 이는 무한 차원 벡터 공간에 추가 구조가 부여될 때 존재하는 “기초”라는 다른 개념과 구별하기 위한 것입니다. 가장 중요한 대안은 힐베르트 공간의 직교 기지, 샤우더 기지, 그리고 규범이 있는 선형 공간에 있는 마르쿠세비치 기지이다. 합리번호 Q 필드 위에 벡터 공간으로 볼 수 있는 실제 숫자 R의 경우, Hamel 베이스는 셀 수 없으며, 특히 연속체의 카디널리티(추기경 2) {displaystyle 2^{aleph _{0}}}}에서 0 { 표시 스타일 aleph _{0}}는 가장 작은 무한 추기경, 정수의 추기경입니다.